物理題目解答

題目 E.g. 1

(a) 設 \( v_B \) 為 \( B \) 的最終速率。根據動量守恆：

\[m_A u_A + 0 = m_A v_A + m_B v_B\]
\[3 \times 6 = 3 \times 2 + 4 \times v_B\]
\[\therefore v_B = \frac{18 - 6}{4} = 3 \, \text{ms}^{-1}\]

(b) 原本的總動能：

\[E_o = \frac{1}{2} m_A u_A^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 6^2 = 54 \, \text{J}\]

最後的總動能：

\[E = \frac{1}{2} m_A v_A^2 + \frac{1}{2} m_B v_B^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 2^2 + \frac{1}{2} \times 4 \times 3^2 = 24 \, \text{J}\]
動能的損失是 \( E_{\text{損失}} = E_o - E = 30 \, \text{J} \)

題目 E.g. 2

(a) 設 \( v \) 為球共同的速率。根據動量守恆：

\[m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v\]
\[2 \times 1.5 + 5 \times 0.8 = (2 + 5) v\]
\[\therefore v = 1 \, \text{ms}^{-1}\]

(b) 被撞的球 (5kg) 動量的改變：

\[\Delta p_2 = m_2 v - m_2 u_2 = 5 \times 1 - 5 \times 0.8 = 1 \, \text{kg ms}^{-1}\]
被撞的球動量的改變是 \( 1 \, \text{kg ms}^{-1} \)。

題目 E.g. 3

(a) 設 \( v \) 為 \( Q \) 的速率，取向右為正。根據動量守恆：

\[Mu = m_p \times 0 + m_Q v\]
\[\therefore v = \frac{Mu}{m_Q} = \frac{9 \times 12}{6} = 18 \, \text{ms}^{-1}\]

(b) 初始動能：

\[E_o = \frac{1}{2} Mu^2 = \frac{1}{2} \times 9 \times 12^2 = 648 \, \text{J}\]

最後動能：

\[E = \frac{1}{2} m_Q v^2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 18^2 = 972 \, \text{J}\]
\(\therefore\) 增加的動能是 \( 972 - 648 = 324 \, \text{J}\)

題目 2020/8

P 和 Q 質量相同 (設為 \( m \))。初始時 P 靜止，Q 以 \( 4 \, \text{ms}^{-1} \) 運動。

系統 {P, Q} 初始總動量： \( p_i = m_P u_P + m_Q u_Q = m(0) + m(4) = 4m \)。

當繩子拉緊時，P 和 Q 會以一個共同的速率 \( v \) 運動（這是一個完全非彈性碰撞）。

系統 {P, Q} 最終總動量： \( p_f = (m_P + m_Q) v = (m + m) v = 2mv \)。

在光滑水平面上，水平方向動量守恆：

\[p_i = p_f \implies 4m = 2mv\]
\[\therefore v = 2 \, \text{ms}^{-1}\]
兩方塊的速率均為 \( 2 \, \text{ms}^{-1} \)。 (選項 C)

題目 E.g. 4

(1) 在首 4 秒內，淨力 \( F \) 始終為正值。根據 \( F = ma \)，加速度 \( a \) 也始終為正值。因此，物體不斷加速。 (陳述 (1) 是正確的)

(2) F-t 線圖下的面積等於衝量，也等於動量的改變 (\( \Delta p \))。

\[\text{面積} = \Delta p = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \, \text{Ns}\]

動量的改變： \( \Delta p = m v - m u \)。

\[6 = 2 \times v - 2 \times 0 \implies v = 3 \, \text{ms}^{-1}\]

在第 4 秒時，速率達到 \( 3 \, \text{ms}^{-1} \)。此後 \( F=0 \)，物體勻速運動。所以最高速率是 \( 3 \, \text{ms}^{-1} \)。 (陳述 (2) 是不正確的)

(3) 在第 4 秒後，\( F=0 \)，物體以 \( 3 \, \text{ms}^{-1} \) 的恆定速率運動，速率不為零。 (陳述 (3) 是不正確的)

只有 (1) 是正確的。答案是 A。

題目 E.g. 5

(1) 撞泥膠 (完全非彈性)：\( v_f = 0 \)。\( \Delta p_{\text{泥}} = m(0 - v_i) = -m v_i \)。

撞牆 (反彈)：\( v_f < 0 \)。\( |\Delta p_{\text{牆}}| = |m(v_f - v_i)| > |-m v_i| \)。

因此，撞泥膠時的衝量 (線圖下面積) 將會較小。 (陳述 (1) 是正確的)

(2) 撞泥膠是一個緩衝過程，碰撞時間 \( \Delta t \) 會比撞硬牆更長。根據 \( F_{\text{avg}} = \frac{\Delta p}{\Delta t} \)，由於 \( \Delta p \) 較小 (分子) 且 \( \Delta t \) 較長 (分母)，平均撞擊力和最大撞擊力 都將會較小。 (陳述 (2) 是正確的)

(3) 碰撞時間將會較長，而不是較短。 (陳述 (3) 是不正確的)

只有 (1) 和 (2) 是正確的。答案是 C。

題目 (撞擊力)

(a) 取向右為正。動量的改變是：

\[\Delta mv = mv - mu = 0.02 \times (-20) - 0.02 \times 15 = -0.7 \, \text{kg} \, \text{ms}^{-1}\]

碰撞力：

\[F = \frac{\Delta mv}{t} = \frac{-0.7}{0.01} = -70 \, \text{N} \, (\text{向左})\]
碰撞力是 \( 70 \, \text{N} \) 向左。

(b)

\[\frac{F}{W} = \frac{70}{0.02 \times 10} = 350\]
(註：此處計算重量時 W = mg, 設 g = 10 \, \text{ms}^{-2})
碰撞力是重量的 \( 350 \) 倍。

題目 E.g. 6

(a) 作用力—距離線圖下的面積就是作用力所作的功。能量通過作功轉移至彈性應變能，並存儲於彈簧中。

(b) 當壓縮距離 = 10 cm 時，線圖下的面積是：

\[\text{面積} = \frac{1}{2} \times 10 \times 0.1 = 0.5 \, \text{J}\]
存儲於彈簧的彈性應變能是 0.5 J。

(c) 方塊的動能轉換成彈性應變能，即動能 \( KE = 0.5 \, \text{J} \)。方塊與子彈的質量是：

\[M = 0.99 + 0.01 = 1 \, \text{kg}\]

按 \( KE = \frac{1}{2} mv^2 \)，剛碰撞後方塊的速率是：

\[v = \sqrt{\frac{2 \times KE}{M}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.5}{1}} = 1 \, \text{ms}^{-1}\]

(d) 設 \( u \) 為碰撞前子彈的速率。根據動量守恆：

\[m_{\text{子彈}} u = Mv\]
\[\therefore u = \frac{1 \times 1}{0.01} = 100 \, \text{ms}^{-1}\]

(e) 方塊靜止的一剎那，其原有的動量通過彈簧傳遞給了牆壁（和地球）。

模擬試題 1 (E.g. 7)

(a) 由於在 BD 段，貨車的速度方向改變，這部分對應於貨車與牆壁的碰撞。

(b) 在 DE 段，貨車移動一段距離後停下來。在 D 點，貨車以 4ms\(^{-1}\) 的速率從牆壁反彈，然後因摩擦力減速，最後在 E 停下來。

(c) 碰撞並非完全非彈性，因貨車以某速率反彈，並與牆壁分開。

(d) 取碰撞前方向 (向牆) 為正。碰撞導致的動量改變是：

\[\Delta(mv) = m(v_f - v_i) = 5 \times 10^3 \times (-4 - 10) = -7 \times 10^5 \, \text{kg} \, \text{ms}^{-1}\]

碰撞歷時 \(\Delta t = 0.75 \, \text{s}\) (從圖 b 估算)

\(\therefore\) 淨力 = 動量的變化率

\[F = \frac{\Delta(mv)}{\Delta t} = \frac{-7 \times 10^5}{0.75} \approx -9.33 \times 10^5 \, \text{N}\]
(註：原答案 F = -1.4 x 10^6 N 是基於 \(\Delta t = 0.5 \, \text{s}\) 計算的。此處使用從圖 (b) 估算的 \(\Delta t \approx 0.75 \text{ s}\)。)

(e) i) 設 \( m' \) 為假人的質量。線圖下的面積（1120 Ns）代表衝量或動量的改變。動量的改變：

\[|\Delta (m'v)| = |m' \times (-4 - 10)| = 14m'\]

因此，假人的質量是：

\[14m' = 1120 \implies m' = \frac{1120}{14} = 80 \, \text{kg}\]

(e) ii) 沒有，氣囊並無運作，因假人的碰撞時間 (從圖 c 看約 0.6s) 與貨車撞牆的時間 (從圖 b 看約 0.75s) 相若。若安全氣囊有運作，碰撞時間應較長。

題目 E.g. 8

(a) 設 \( v_A \) 為學生 A 拋出球後的速率。根據動量守恆：

\[0 = m_A v_A + m_{球} v_{球}\]
\[\therefore v_A = -\frac{1 \times 2}{50} = -0.04 \, \text{ms}^{-1}\]
A 移動的速度是 0.04 m s\(^{-1}\) 向左。

(b) 設 \( v_B \) 為學生 B 接到球後的速率。根據動量守恆：

\[m_{球} v_{球} = (m_B + m_{球}) v_B\]
\[\therefore v_B = \frac{1 \times 2}{40 + 1} = 0.0488 \, \text{ms}^{-1}\]
B 移動的速度是 0.0488 m s\(^{-1}\) 向右。

(c) 設 \( w_B \) 為學生 B 拋出球後的速率。根據動量守恆：

\[(m_B + m_{球}) v_B = m_B w_B + m_{球} v_{球}\]
\[(41) \times (0.0488) = 40 w_B + 1 \times (-2) \quad \text{(註: } (m_B + m_{球}) v_B = 2 \text{)}\]
\[2 = 40 w_B - 2\]
\[\therefore w_B = \frac{4}{40} = 0.1 \, \text{ms}^{-1}\]
B 移動的速度是 0.1 m s\(^{-1}\) 向右。

(d) 解釋：

在 A 擲球後，A 向左移動。在 B 接球並擲回球後，B 向右移動。每次傳球，A 和 B 之間的距離都會增加。這個過程不可能不斷重複，因為他們最終會相距太遠而無法再將球擲給對方。

(e) 兩人站在同一滑板上。系統 {A, B, 球, 滑板} 總動量恆為 0 (因地面光滑)。

i) A 將球擲出 (向右)：為保持總動量為 0，{A, B, 滑板} 必須向左移動。

ii) B 將球接過來 (向右的球被接住)：球的向右動量被系統內部吸收。為保持總動量為 0，整個 {A, B, 球, 滑板} 系統必須停止移動。

iii) B 將球擲出 (假設向左擲回給 A)：球具有向左的動量。為保持總動量為 0，{A, B, 滑板} 必須向右移動。